РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 239 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2015

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 1\.6\. Вычисление логарифмов

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Использование основного логарифмического тождества

Преобразование числовых логарифмических выражений

Пусть $A= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 15 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 15 правая круглая скобка 2 минус 2} правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию 4 в квадрате 15.$

Найдите значение выражения 2^A.

Решение. Рассмотрим выражение в первых скобках:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 15 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 15 правая круглая скобка 2 минус 2= дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате 15 минус 2 логарифм по основанию 2 15 плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 15 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 15 минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 2 15 конец дроби .$

Рассмотрим выражение во вторых скобках:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 умножить на логарифм по основанию 2 в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию 2 в степени левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка 15= логарифм по основанию 2 в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 15 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию 2 15 правая круглая скобка .$

Заметим, что $4 логарифм по основанию 4 в квадрате 15= логарифм по основанию 2 в квадрате 15.$ Тогда имеем:

$A= дробь: числитель: логарифм по основанию 2 15 минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 15 конец дроби умножить на логарифм по основанию 2 в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 15 умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию 2 15 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 в квадрате 15=$
$= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 15 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию 2 15 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 в квадрате 15=$ $A=$
$= дробь: числитель: логарифм по основанию 2 15 минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 15 конец дроби умножить на логарифм по основанию 2 в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 15 умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию 2 15 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 в квадрате 15=$
$= левая круглая скобка логарифм по основанию 2 15 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию 2 15 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 в квадрате 15=$

$= логарифм по основанию 2 15 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию 2 в квадрате 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 плюс логарифм по основанию 2 15 плюс логарифм по основанию 2 в квадрате 15= логарифм по основанию 2 15 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 плюс логарифм по основанию 2 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15.$ $= логарифм по основанию 2 15 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 минус логарифм по основанию 2 в квадрате 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 плюс логарифм по основанию 2 15 плюс логарифм по основанию 2 в квадрате 15=$
$= логарифм по основанию 2 15 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 плюс логарифм по основанию 2 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15.$

Тогда:

$2 в степени левая круглая скобка A правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 15 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 плюс логарифм по основанию 2 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15=15 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка умножить на 15 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка конец дроби =7,5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка умножить на 15=15 умножить на 15=225.$ $2 в степени левая круглая скобка A правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 15 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 плюс логарифм по основанию 2 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15=15 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка умножить на 15 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка конец дроби =$
$=7,5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка умножить на 15=15 умножить на 15=225.$ $2 в степени левая круглая скобка A правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 15 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 плюс логарифм по основанию 2 15 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15=$
$=15 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка умножить на 15 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка конец дроби =$
$=7,5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 15 правая круглая скобка умножить на 15=15 умножить на 15=225.$

Ответ: 225.

Ответ: 225

239

225

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2015

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 1\.6\. Вычисление логарифмов

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Использование основного логарифмического тождества

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	239	225